某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(π为圆周率).
(1)将表示成的函数,并求该函数的定义域;
(2)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.
(本小题满分13分)
设数列的前
项和为
,点
在直线
上,(
为常数,
,
).
(1)求;
(2)若数列的公比
,数列
满足
,
,
,求证:
为等差数列,并求
;
(3)设数列满足
,
为数列
的前
项和,且存在实数
满足
,求
的最大值.
(本小题满分12分)
将10个白小球中的3个染成红色,3个染成黄色,试解决下列问题:
求取出3个小球中红球个数的分布列和数学期望;
求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率.
本小题满分12分)
如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<).
(1)求MN的长;
(2)当a为何值时,MN的长最小;
(3)当MN的长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值.
(本小题满分12分)
在中,已知
,
(1) 求的值;
(2) 若,求
的面积;
(3) 若函数,求
的值.
(本小题满分14分)
已知函数.
⑴若,求曲线
在点
处的切线方程;
⑵若函数在其定义域内为增函数,求正实数
的取值范围;
⑶设函数,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.