如图，某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且-优题课

如图，某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质对称式和轮换对称式

如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B O$ 交边 $A D$ 于点 $O$ ， $O D ＝ 4$ ，以点 $O$ 为圆心， $O D$ 长为半径作 $⊙ O$ ，分别交边 $D A$ 、 $D C$ 于点 $M$ 、 $N$ ．点 $E$ 在边 $B C$ 上， $O E$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ， $G$ 为 $\overset{⏜}{MN}$ 的中点．

（ 1 ）求证：四边形 $A B E O$ 为菱形；

（ 2 ）已知 $\cos ∠ A B C ＝ \frac{1}{3}$ ，连接 $A E$ ，当 $A E$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $A B$ 的长．

如图，正比例函数 $y ＝ k x （ k \neq 0 ）$ 的图象与反比例函数 $y ＝ ﹣ \frac{8}{x}$ 的图象交于点 $A (n ， 2)$ 和点 $B$ ．

（ 1 ） $n ＝$ 　　， $k ＝$ 　　；

（ 2 ）点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上． $∠ A C B ＝ 90 °$ ，求点 $C$ 的坐标；

（ 3 ）点 $P （ m ， 0 ）$ 在 x 轴上， $∠ A P B$ 为锐角，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，点 E 与树 AB 的根部点 A 、建筑物 CD 的底部点 C 在一条直线上， $A C ＝ 10 m$ ．小明站在点 E 处观测树顶 B 的仰角为 $30 °$ ，他从点 E 出发沿 EC 方向前进 $6 m$ 到点 G 时，观测树顶 B 的仰角为 $45 °$ ，此时恰好看不到建筑物 CD 的顶部 D （ H 、 B 、 D 三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面 $1.6 m$ ，求建筑物 CD 的高度（结果精确到 $0.1 m$ ）．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．）

智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号" "有刚毅的含义，符号" "有愉快的含义．符号中的" "表示"阴"，" "表示"阳"，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．

（ 1 ）所有这些三行符号共有　　种；

（ 2 ）若随机画一个这样的三行符号，求"画出含有一个阴和两个阳的三行符号"的概率．

教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达 9 小时及以上的比例为 $19.4 %$ ．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级 50 名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 t （单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：

平均每天的睡眠时间分组	$5 \leq t ＜ 6$	$6 \leq t ＜ 7$	$7 \leq t ＜ 8$	$8 \leq t ＜ 9$	9 小时及以上
频数	$1$	$5$	$m$	$24$	$n$

该样本中学生平均每天的睡眠时间达 9 小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了 $22 %$ ．

（ 1 ）求表格中 n 的值；

（ 2 ）该校八年级共 400 名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在 $7 \leq t ＜ 8$ 这个范围内的人数是多少．