某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，-优题课

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．

(1)设AB＝x(米)，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

科目数学题型解答题难度中等

如图， $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点。 $P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方， $M$ 为左准线上一点， $O$ 为坐标原点。已知四边形 $O F P M$ 为平行四边形， $|P F| = λ |O F|$ .

（Ⅰ）写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $λ$ 的关系式；
（Ⅱ）当 $λ = 1$ 时，经过焦点 $F$ 且品行于 $O P$ 的直线交双曲线于 $A$ 、 $B$ 点，若 $|A B| = 12$ ，求此时的双曲线方程.

数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}, S_{n} = n^{2} a_{n} - n (n - 1), n = 1, 2 \dots$

（Ⅰ）写出 $S_{n}$ 与 $S_{n - 1}$ 的递推关系式 $(n \geq 2)$ ，并求 $S_{n}$ 关于 $n$ 的表达式；

（Ⅱ）设 $f_{n} (x) = \frac{S_{n}}{n} x^{n + 1}, b_{n} = f_{n} (p) (p \in R)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有定义，对任何实数 $a > 0$ 和任何实数 $x$ ，都有 $f (a x) = a f (x)$

（Ⅰ）证明 $f (0) = 0$ ；

（Ⅱ）证明 $f (x) = \{\begin{cases} k x, x \geq 0 \\ h x, x < 0 \end{cases}$ ,其中 $k$ 和 $h$ 均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 $k > 0$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{f (x)} + f (x) (x > 0)$ ，讨论 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值.

如图， $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 所在平面外一点， $P A = 1$ ， $P$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $B F$ 的中点 $O$ .

（Ⅰ）证明 $P A ⊥ B F$ ；
（Ⅱ）求面 $A P B$ 与面 $D P B$ 所成二面角的大小.

在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 $ξ$ 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出 $ξ$ 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 。（要求写出计算过程或说明道理）

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