现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是
的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
；类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．
科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半（即
）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即
），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：
（1）如果
，则按照上述规则施行变换后的第8项为．
（2）如果对正整数
（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则的所有不同值的个数为．
若函数
且
有两个零点，则实数
的取值范围是．
从
这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素
不能放在第二个格子中，问共有种不同的放法．（用数学作答）
已知向量
，
，则
在
方向上的投影等于．
基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准，图中横轴
表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵轴
表示收入的累积百分比，弧线
（称为洛伦兹曲线）与对角线之间的面积
叫做“完全不平等面积”，不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数，则：
（1）当洛伦兹曲线为对角线时，社会达到“共同富裕”，这是社会主义国家的目标，则此时的基尼系数等于.
（2）为了估计目前我国的基尼系数，统计得到洛伦兹曲线后，采用随机模拟方法，随机产生两个数组成点
（其中
），共产生了1000个点，且恰好有300个点落在
区域中，则据此估计该基尼系数为.