如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C-优题课

定义：分数 $\frac{n}{m} (m$ ， $n$ 为正整数且互为质数）的连分数 $\frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \dots}}}$ （其中 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为 $1)$ ，记作 $\frac{n}{m} \frac{\underline{△}}{} \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots$ ，

例如： $\frac{7}{19} = \frac{1}{\frac{19}{7}} = \frac{1}{2 + \frac{5}{7}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{7}{5}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{5}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{5}{2}}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}}$ ， $\frac{7}{19}$ 的连分数为 $\frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}}$ ，记作 $\frac{7}{19} \frac{\underline{△}}{} \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ ，则　　 $\frac{\underline{△}}{} \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ．

如图，四边形 $ABCD$ 中， $DA ⊥ AB$ ， $CB ⊥ AB$ ， $AD = 3$ ， $AB = 5$ ， $BC = 2$ ， $P$ 是边 $AB$ 上的动点，则 $PC + PD$ 的最小值是　　．

已知一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + 2 x_{1} x_{2} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$ 　　．

如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是 $⊙ O$ 上的三点，若 $ΔOBC$ 是等边三角形，则 $\cos ∠ A =$ 　　．

分解因式： $a^{3} - a =$ 　　．