如图，点在线段上，，，.求证：.-优题课

某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：

项目

选手

服装

普通话

主题

演讲技巧

李明

85

70

80

85

张华

90

75

80

结合以上信息，回答下列问题：

（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；

（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；

（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $B$ 作 $BD ⊥ CD$ ，垂足为点 $D$ ，连接 $BC$ ． $BC$ 平分 $∠ ABD$ ．

求证： $CD$ 为 $⊙ O$ 的切线．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与两坐标轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ， $D$ 是抛物线的顶点， $E$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2） $F (x, y)$ 是抛物线上的动点：

①当 $x > 1$ ， $y > 0$ 时，求 $ΔBDF$ 的面积的最大值；

②当 $∠ AEF = ∠ DBE$ 时，求点 $F$ 的坐标．

如图， $C$ 、 $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上的点， $\hat{AC} = \hat{BC}$ ，弦 $CD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）当 $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线时，求证： $∠ PBD = ∠ DAB$ ；

（2）求证： $B C^{2} - C E^{2} = CE \cdot DE$ ；

（3）已知 $OA = 4$ ， $E$ 是半径 $OA$ 的中点，求线段 $DE$ 的长．

如图，已知四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $OA = OC$ ， $OB = OD$ ，过 $O$ 点作 $EF ⊥ BD$ ，分别交 $AD$ 、 $BC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $ΔAOE ≅ ΔCOF$ ；

（2）判断四边形 $BEDF$ 的形状，并说明理由．