如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两-优题课

如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？
（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_{1} : y = a {(x - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{64}{15}$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- \frac{6}{5}$ ， $0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $F_{1}$ 的表达式；

（2）如图2，将抛物线 $F_{1}$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $F_{2}$ ，若抛物线 $F_{1}$ 与抛物线 $F_{2}$ 相交于点 $D$ ，连接 $BD$ ， $CD$ ， $BC$ ．

①求点 $D$ 的坐标；

②判断 $ΔBCD$ 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $F_{2}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $ΔBDP$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $C$ 点， $A$ 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $CA$ ， $AB$ 上沿 $C \to A$ ， $A \to B$ 的方向运动，当点 $Q$ 运动到点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t (s)$ ，连接 $PQ$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ PQ$ ， $PE$ 与边 $BC$ 相交于点 $E$ ，连接 $QE$ ．

（1）如图2，当 $t = 5 s$ 时，延长 $EP$ 交边 $AD$ 于点 $F$ ．求证： $AF = CE$ ；

（2）在（1）的条件下，试探究线段 $AQ$ ， $QE$ ， $CE$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当 $t > \frac{9}{4} s$ 时，延长 $EP$ 交边 $AD$ 于点 $F$ ，连接 $FQ$ ，若 $FQ$ 平分 $∠ AFP$ ，求 $\frac{AF}{CE}$ 的值．

共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图 $A$ ， $B$ 两地向 $C$ 地新建 $AC$ ， $BC$ 两条笔直的污水收集管道，现测得 $C$ 地在 $A$ 地北偏东 $45 °$ 方向上，在 $B$ 地北偏西 $68 °$ 向上， $AB$ 的距离为 $7 km$ ，求新建管道的总长度．（结果精确到 $0.1 km$ ， $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

为做好复工复产，某工厂用 $A$ 、 $B$ 两种型号机器人搬运原料，已知 $A$ 型机器人比 $B$ 型机器人每小时多搬运 $20 kg$ ，且 $A$ 型机器人搬运 $1200 kg$ 所用时间与 $B$ 型机器人搬运 $1000 kg$ 所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．

我市某学校落实立德树人根本任务，构建"五育并举"教育体系，开设了"厨艺、园艺、电工、木工、编织"五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查的学生人数为　　人；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择"厨艺"劳动课程的人数；

（4）七（1）班计划在"园艺、电工、木工、编织"四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中"园艺、编织"这两类劳动课程的概率．