如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连-优题课

如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S_△_ABD：S_△_ABC=　　；当点D是BC边上任意一点时，S_△_ABD：S_△_ABC=　　（用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S_△_BOC与S_△_ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 过点 $A (- 1, 0)$ 和 $C (0, 3)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2）如图1， $E$ 为线段 $BC$ 上方的抛物线上一点， $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $EM ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．当 $BG = CF$ 时，求 $ΔEFG$ 的面积；

（3）如图2， $AC$ 与 $BD$ 的延长线交于点 $H$ ，在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $∠ OPB = ∠ AHB$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，已知 $ΔABC ≅ ΔEBD$ ， $∠ ACB = ∠ EDB = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，连接 $CD$ 并延长交 $AE$ 于点 $F$ ．

（1）猜想：线段 $AF$ 与 $EF$ 的数量关系为　　；

（2）探究：若将图1的 $ΔEBD$ 绕点 $B$ 顺时针方向旋转，当 $∠ CBE$ 小于 $180 °$ 时，得到图2，连接 $CD$ 并延长交 $AE$ 于点 $F$ ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展：图1中，过点 $E$ 作 $EG ⊥ CB$ ，垂足为点 $G$ ．当 $∠ ABC$ 的大小发生变化，其它条件不变时，若 $∠ EBG = ∠ BAE$ ， $BC = 6$ ，直接写出 $AB$ 的长．

某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元 $/$ 台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第 $x$ 天 $(x$ 为整数）的生产成本为 $m$ （元 $/$ 台）， $m$ 与 $x$ 的关系如图所示．

（1）若第 $x$ 天可以生产这种设备 $y$ 台，则 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为　 $y = 2 x + 20$ 　， $x$ 的取值范围为　　；

（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？

（3）求当天销售利润低于10800元的天数．

如图， $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $AD$ 与过点 $C$ 的切线垂直，垂足为 $D$ ， $AD$ 交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $AC$ 平分 $∠ DAB$ ；

（2）若 $AE = 2 DE$ ，试判断以 $O$ ， $A$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形的形状，并说明理由．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 k + 8 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} = 24$ ，求 $k$ 的值．