如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，-优题课

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 12$ ．点 $D$ 在直线 $CB$ 上，以 $CA$ ， $CD$ 为边作矩形 $ACDE$ ，直线 $AB$ 与直线 $CE$ ， $DE$ 的交点分别为 $F$ ， $G$ ．

（1）如图，点 $D$ 在线段 $CB$ 上，四边形 $ACDE$ 是正方形．

①若点 $G$ 为 $DE$ 的中点，求 $FG$ 的长．

②若 $DG = GF$ ，求 $BC$ 的长．

（2）已知 $BC = 9$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔDFG$ 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

如图，四边形 $ABCD$ 的四个顶点分别在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 与 $y = \frac{n}{x} (x > 0, 0 < m < n)$ 的图象上，对角线 $BD / / y$ 轴，且 $BD ⊥ AC$ 于点 $P$ ．已知点 $B$ 的横坐标为4．

（1）当 $m = 4$ ， $n = 20$ 时．

①若点 $P$ 的纵坐标为2，求直线 $AB$ 的函数表达式．

②若点 $P$ 是 $BD$ 的中点，试判断四边形 $ABCD$ 的形状，并说明理由．

（2）四边形 $ABCD$ 能否成为正方形？若能，求此时 $m$ ， $n$ 之间的数量关系；若不能，试说明理由．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a < 0)$ 过点 $E (10, 0)$ ，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在线段 $OE$ 上（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），点 $C$ ， $D$ 在抛物线上．设 $A (t, 0)$ ，当 $t = 2$ 时， $AD = 4$ ．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$ 为何值时，矩形 $ABCD$ 的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t = 2$ 时的矩形 $ABCD$ 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$ ， $H$ ，且直线 $GH$ 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中，点 $O$ 在斜边 $AB$ 上，以 $O$ 为圆心， $OB$ 为半径作圆，分别与 $BC$ ， $AB$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，连接 $AD$ ．已知 $∠ CAD = ∠ B$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $BC = 8$ ， $\tan B = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

为了解朝阳社区 $20 ~ 60$ 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求参与问卷调查的总人数．

（2）补全条形统计图．

（3）该社区中 $20 ~ 60$ 岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．