解方程组．-优题课

禁渔期间，我渔政船在 $A$ 处发现正北方向 $B$ 处有一艘可疑船只，测得 $A$ 、 $B$ 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东 $45 °$ 方向航行，我渔政船迅速沿北偏东 $30 °$ 方向前去拦截，经历4小时刚好在 $C$ 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果保留根号）．

某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目： $A$ 篮球、 $B$ 乒乓球、 $C$ 跳绳、 $D$ 踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　　人；

（2）请你将条形统计图补充完成；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．

如图所示， $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上一点， $E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $CE$ 的延长线于 $F$ ，且 $AF = BD$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证： $D$ 是 $BC$ 的中点；

（2）若 $AB = AC$ ，试判断四边形 $AFBD$ 的形状，并证明你的结论．

如图，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A (- 5, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ．与 $y$ 轴交于点 $C (0, 5)$ ．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$ 轴方向平移，与 $y$ 轴平行的一组对边交抛物线于点 $P$ 和 $Q$ ，交直线 $AC$ 于点 $M$ 和 $N$ ．交 $x$ 轴于点 $E$ 和 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $M$ 和 $N$ 都在线段 $AC$ 上时，连接 $MF$ ，如果 $\sin ∠ AMF = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求点 $Q$ 的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点 $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$ 的坐标．

已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $P$ 为正方形内一动点，若点 $M$ 在 $AB$ 上，且满足 $ΔPBC ∽ ΔPAM$ ，延长 $BP$ 交 $AD$ 于点 $N$ ，连接 $CM$ ．

（1）如图一，若点 $M$ 在线段 $AB$ 上，求证： $AP ⊥ BN$ ； $AM = AN$ ；

（2）①如图二，在点 $P$ 运动过程中，满足 $ΔPBC ∽ ΔPAM$ 的点 $M$ 在 $AB$ 的延长线上时， $AP ⊥ BN$ 和 $AM = AN$ 是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点 $P$ ，使得 $PC = \frac{1}{2}$ ？请说明理由．