某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手-优题课

题文

某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.
（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；
（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.

科目数学题型解答题难度中等

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设向量 $a = (\sqrt{3} \sin x, \sin x)$ , $b = (\cos x, \sin x)$ , $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

（I）若 $|a| = |b|$ ,求 $x$ 的值.

（II）设函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ,求 $f (x)$ 的最大值.

已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = |\frac{x - a}{x + 2 a}|$ .
（I）记 $f (x)$ 在区间 $[0, 4]$ 上的最大值为 $g (a)$ ,求 $g (a)$ 的表达式；
（II）是否存在 $a$ ，使函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$ ,且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $A, B$ , $l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $C, D$ .以 $A B, C D$ 为直径的圆 $M$ ，圆 $N$ （ $M, N$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$ .
（I）若 $k_{1} > 0, k_{2} > 0$ ,证明； $\overset{⇀}{F M} \cdot \overset{⇀}{F N} < 2 p^{2}$ ；
（II）若点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ ,求抛物线 $E$ 的方程.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径成为 $M$ 到 $N$ 的一条" $L$ 路径"。如图所示的路径 $M M_{1} M_{2} M_{3} N 与路径 M N_{1} N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的" $L$ 路径"。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $x O y$ 内三点 $A (3, 20), B (- 10, 0), C (14, 0)$ 处。现计划在 $x$ 轴上方区域（包含x轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心。

（I）写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的" $L$ 路径"长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，" $L$ 路径"不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的" $L$ 路径"长度值和最小。

如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中， A D / / B C$ $, ∠ B A D = 90^{°}, A C ⊥ B D, B C = 1, A D = A A_{1} = 3$ .

（I）证明： $A C ⊥ B_{1} D$ ；
（II）求直线 $B_{1} C_{1} 与平面 A C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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