已知：关于mx2﹣2（m﹣1）xm﹣20的一元二次方程（m＞-优题课

已知：关于mx²﹣2（m﹣1）x+m﹣2=0的一元二次方程（m＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）m取何整数值时，此方程的两个实数根都为整数？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

如图，在 $▱ ABCD$ 中，作对角线 $BD$ 的垂直平分线 $EF$ ，垂足为 $O$ ，分别交 $AD$ ， $BC$ 于 $E$ ， $F$ ，连接 $BE$ ， $DF$ ．求证：四边形 $BFDE$ 是菱形．

已知正方形 $ABCD$ 中 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$ 点，点 $M$ 在线段 $BD$ 上，作直线 $AM$ 交直线 $DC$ 于 $E$ ，过 $D$ 作 $DH ⊥ AE$ 于 $H$ ，设直线 $DH$ 交 $AC$ 于 $N$ ．

（1）如图1，当 $M$ 在线段 $BO$ 上时，求证： $MO = NO$ ；

（2）如图2，当 $M$ 在线段 $OD$ 上，连接 $NE$ ，当 $EN / / BD$ 时，求证： $BM = AB$ ；

（3）在图3，当 $M$ 在线段 $OD$ 上，连接 $NE$ ，当 $NE ⊥ EC$ 时，求证： $A N^{2} = NC \cdot AC$ ．

如图，已知二次函数的图象过点 $O (0, 0)$ ， $A (8, 4)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，且对称轴是直线 $x = 3$ ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$ 是 $OB$ 上的一点，作 $MN / / AB$ 交 $OA$ 于 $N$ ，当 $ΔANM$ 面积最大时，求 $M$ 的坐标；

（3） $P$ 是 $x$ 轴上的点，过 $P$ 作 $PQ ⊥ x$ 轴与抛物线交于 $Q$ ．过 $A$ 作 $AC ⊥ x$ 轴于 $C$ ，当以 $O$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与以 $O$ ， $A$ ， $C$ 为顶点的三角形相似时，求 $P$ 点的坐标．

如图，已知 $⊙ O$ 是等边三角形 $ABC$ 的外接圆，点 $D$ 在圆上，在 $CD$ 的延长线上有一点 $F$ ，使 $DF = DA$ ， $AE / / BC$ 交 $CF$ 于 $E$ ．

（1）求证： $EA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $BD = CF$ ．

某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：

（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图 $2)$ ；

（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？

（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？

（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．