在△ABC中，ABAC5，BC6，以AC为一边作正方形ACD-优题课

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，连接AF，请你画出图形，直接写出AF的长，并画出体现解法的辅助线．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $α$ 一般要满足 $50 ° ⩽ α ⩽ 75 °$ ，现有一架长为 $6 m$ 的梯子，当梯子底端离墙面 $2 m$ 时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° = 0.26)$ ？

先化简，再求值： $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 ab + 4 b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ ， $b = 3$ ．

计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - | - 2 | + 2020^{0}$ ．

如图1，在平面直角坐标系中， $A (- 2, - 1)$ ， $B (3, - 1)$ ，以 $O$ 为圆心， $OA$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $AO$ 延长线于 $C$ ，连接 $AB$ ， $BC$ ，过 $O$ 作 $ED / / BC$ 分别交 $AB$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $OB$ ， $CD$ ．

（1）求证： $BC$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $OBCD$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $ΔOAB$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{ΔEPQ} = S_{ΔOAB}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往 $A$ 地240吨， $B$ 地260吨，运费如下表（单位：元 $/$ 吨）．

目的地

生产厂

$A$

$B$

甲

乙

（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？

（2）设这批物资从乙厂运往 $A$ 地 $x$ 吨，全部运往 $A$ ， $B$ 两地的总运费为 $y$ 元．求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低 $m$ 元 $(0 < m ⩽ 15$ 且 $m$ 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求 $m$ 的最小值．