如图，点是椭圆：的左焦点，、分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆-优题课

题文

如图，点是椭圆：的左焦点，、分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为，三角形的面积为，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）对于轴上的点，椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围；
（Ⅲ）直线与椭圆交于不同的两点、（、异于椭圆的左右顶点），若以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

科目数学题型解答题难度较难

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为第二象限角，且，求的值.

已知抛物线 $C$ 的顶点为 $O (0, 0)$ ,焦点 $F (0, 1)$

（Ⅰ）求抛物线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于 $A, B$ 两点.若直线 $O A, O B$ 分别交直线 $l : y = x - 2$ 于 $M, N$ 两点，求 $|M N|$ 的最小值．

已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x$ .

（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）若 $|a| > 1$ ，求 $f (x)$ 在闭区间 $[0, |2 a|]$ 上的最小值．

$P C$ 如图，在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中， $P A ⊥ 面 A B C D$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = C D = \sqrt{7}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $G$ 为线段 $P C$ 上的点．
（Ⅰ）证明： $B D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅱ）若 $G$ 是 $P C$ 的中点，求 $D G$ 与 $P A C$ 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若 $G$ 满足 $P C ⊥ 面 B G D$ ，求 $\frac{P G}{G C}$ 的值．

在公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 10$ ，且 $a_{1}$ ， $2 a_{2} + 2$ ， $5 a_{3}$ 成等比数列．
（Ⅰ）求 $d$ , $a_{n}$ ；
（Ⅱ）若 $d < 0$ ，求 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} |$ .

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