下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面
上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为
的抛物线列
中，
是首项和公比都为
的等比数列，过作斜率2的直线
与
相交于
和
（在
轴的上方，在轴的下方）.
证明：
的斜率是定值；
求
、
、
、、所在直线的方程；
记
的面积为
，证明：数列
是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.
（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数
（
）．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若
，求
的取值范围．
（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知圆的参数方程为
（
，
为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变得到曲线
；以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设
为曲线上的动点，求点与曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．
（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，已知圆上的弧
，过点
的圆的切线
与
的延长线交于
点．
求证：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
．
（本小题满分12分）已知函数
，
．
（Ⅰ）函数
在点
处的切线与直线
平行，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数的导函数为
，对任意的
，
，若
恒成立，求
的取值范围．
（本题小满分12分）已知椭圆
（
）的一个焦点与抛物线
的焦点重合，椭圆
上一点到其右焦点
的最短距离为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为
，是否存在直线
交椭圆于
，
两点，使点恰好为
的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．