设函数
，
；
，
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，求函数
的最大值；
（3）求证：
（本小题满分13分）如图，椭圆
（
）的离心率为
，直线
和
所围成的矩形
的面积为
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）若
为椭圆上任意一点，
为坐标原点，
为线段
的中点，求点的轨迹方程；
（Ⅲ）已知
，若过点
的直线
交点的轨迹于
，
两点，且
，求直线的斜率的取值范围．
（本小题满分12分）已知
为等差数列
的前
项和，
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列
满足：
，求数列的前项和
．
（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点
、
、
分别是线段
、
、
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
．
（本小题满分12分）山东省济南市为了共享优质教育资源，实现名师交流，甲、乙两校各有
名教师报名交流，其中甲校
男
女，乙校男女．
（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率；
（Ⅱ）若从报名的
名教师中任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师来自同一学校的概率．
（本小题满分12分）在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对边，且
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若函数
，
．
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数在区间
上的最大值和最小值．