已知函数，且．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若，证明:-优题课

已知函数，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若，证明:.

科目数学题型解答题难度较易

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x + 1 (a \in R)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）当 $a < 0$ 时，试讨论是否存在 $x_{0} \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ ，使得 $f (x_{0}) = f (\frac{1}{2})$ .

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若动点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $C$ 外一点,且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直,求点 $P$ 的轨迹方程.

设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 3) S_{n} - 3 (n^{2} + n) = 0$ ， $n \in N^{+}$ .
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} (a_{1} + 1)} + \frac{1}{a_{2} (a_{2} + 1)} + . . . + \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)} < \frac{1}{3}$ .

如图1，四边形 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 1, B C = P C = 2$ ，作如图2折叠，折痕 $E F / / D C$ .其中点 $E, F$ 分别在线段 $P D, P C$ 上，沿 $E F$ 折叠后点 $P$ 在线段 $A D$ 上的点记为 $M$ ，并且 $M F ⊥ C F$ .

（1）证明： $C F ⊥$ 平面 $M D F$ ；
（2）求三棱锥 $M - C D E$ 的体积.

某车间 $20$ 名工人年龄数据如下表：

年龄（岁）	工人数（人）
$19$	$1$
$28$	$3$
$29$	$3$
$30$	$5$
$31$	$4$
$32$	$3$
$40$	$1$
合计	$20$

（1）求这 $20$ 名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 $20$ 名工人年龄的茎叶图；
（3）求这 $20$ 名工人年龄的方差.

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