如图，在△ABC中，D是AB上一点，且ADAC，AE⊥CD，-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0, 3)$ ，顶点 $F$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $H$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，交抛物线的对称轴于点 $G$ ．

（1）求出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值．

（2）点 $M$ 为抛物线对称轴上一个动点，若 $ΔDGM$ 是以 $DG$ 为腰的等腰三角形时，请求出点 $M$ 的坐标．

（3）点 $P$ 为抛物线上一个动点，当点 $P$ 关于直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 的对称点恰好落在 $x$ 轴上时，请直接写出此时点 $P$ 的坐标．

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 交射线 $CB$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ 、 $BE$

填空：

①线段 $BD$ 、 $BE$ 的数量关系为　　．

②线段 $BC$ 、 $DE$ 的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形 $ABC$ 中，顶角 $∠ ACB = α$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为 $ΔABC$ 外部射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $α$ 度得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 、 $BD$ 、 $BE$ 请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形 $ABC$ 中， $AB = 4$ ．作 $BM$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $BM$ 上一点，以点 $B$ 为旋转中心将线段 $BD$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $BE$ ，连接 $DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ 、 $AE$ ．当以 $A$ 、 $D$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $ΔAEF$ 全等时，请直接写出 $DE$ 的值．

某校为改善办学条件，计划购进 $A$ 、 $B$ 两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：

规格	线下		线上
规格	单价（元 $/$ 个）	运费（元 $/$ 个）		单价（元 $/$ 个）	运费（元 $/$ 个）
$A$	240	0		210	20
$B$	300	0		250	30

（1）如果在线下购买 $A$ 、 $B$ 两种书架20个，共花费5520元，求 $A$ 、 $B$ 两种书架各购买了多少个

（2）如果在线上购买 $A$ 、 $B$ 两种书架20个，共花费 $v$ 元，设其中 $A$ 种书架购买 $m$ 个，求 $v$ 关于 $m$ 的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，若购买 $B$ 种书架的数量不少于 $A$ 种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．

小明在研究矩形面积 $S$ 与矩形的边长 $x$ ， $y$ 之间的关系时，得到下表数据：

$x$	0.5	1	1.5	2	3	4	6	12
$y$	12	6	4	3	2		1	0.5

结果发现一个数据被墨水涂黑了

（1）被墨水涂黑的数据为　　．

（2） $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为　　，且 $y$ 随 $x$ 的增大而　　．

（3）如图是小明画出的 $y$ 关于 $x$ 的函数图象，点 $B$ 、 $E$ 均在该函数的图象上，其中矩形 $OABC$ 的面积记为 $S_{1}$ ，矩形 $ODEF$ 的面积记为 $S_{2}$ ，请判断 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的大小关系，并说明理由．

（4）在（3）的条件下， $DE$ 交 $BC$ 于点 $G$ ，反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象经过点 $G$ 交 $AB$ 于点 $H$ ，连接 $OG$ 、 $OH$ ，则四边形 $OGBH$ 的面积为　　．

2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的 $001 A$ 型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长 $BD$ 约 $306 m$ ，航母前端点 $E$ 到水平甲板 $BD$ 的距离 $DE$ 为 $6 m$ ，舰岛顶端 $A$ 到 $BD$ 的距离是 $AC$ ，经测量， $∠ BAC = 71.6 °$ ， $∠ EAC = 80.6 °$ ，请计算舰岛 $AC$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sin 71.6 ° \approx 0.95$ ， $\cos 71.6 ° \approx 0.32$ ， $\tan 71.6 ° \approx 3.01$ ， $\sin 80.6 ° \approx 0.99$ ， $\cos 80.6 ° \approx 0.16$ ， $\tan 80.6 ° \approx 6.04)$