如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平-优题课

如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．

（1）以O为位似中心，作∽，相似比为1：2，且保证在第三象限；
（2）点的坐标为（，）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（），那么它的对应点的坐标为（，）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B ＝ 80 °$ ．

（1）求 $∠ B A D$ 的度数；

（2） $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ B C D ＝ 50 °$ ．求证： $A E ∥ D C$ ．

解不等式组 $\{\begin{matrix} x - 2 \geq - 5 ，① \\ 3 x ＜ x + 2 ． ② \end{matrix}$ 请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得＿＿＿＿＿；

（2）解不等式②，得＿＿＿＿＿；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是＿＿＿＿＿．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x ﹣ 3$ 经过点 $B （ 6 ， 0 ）$ 和点 $D （ 4 ， ﹣ 3 ）$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $A D$ ．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线 $A D$ 的函数表达式；

（2）点 $E$ 是直线 $A D$ 下方的抛物线上一点，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $B D ， D E$ ， $△ B D F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ D E F$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} ＝ 2 S_{2}$ 时，求点 $E$ 的坐标；

（3）点 $G$ 为抛物线的顶点，将抛物线图象中 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为 $C_{1}$ ，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，点 $G$ 的对应点为 $G'$ ，将曲线 $C_{1}$ 沿 $y$ 轴向下平移 $n$ 个单位长度 $（ 0 ＜ n ＜ 6 ）$ ．曲线 $C_{1}$ 与直线 $B C$ 的公共点中，选两个公共点记作点 $P$ 和点 $Q$ ，若四边形 $C' G' Q P$ 是平行四边形，直接写出点 $P$ 的坐标．

【特例感知】

（1）如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B ＝ ∠ C O D ＝ 90 °$ ，点 $C$ 在 $O A$ 上，点 $D$ 在 $B O$ 的延长线上，连接 $A D ， B C$ ，线段 $A D$ 与 $B C$ 的数量关系是＿＿＿＿＿＿；

【类比迁移】

（2）如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° ＜ α ＜ 90 ° ）$ ，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．

【方法运用】

（3）如图3，若 $A B ＝ 8$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 外一动点， $A C ＝ 3 \sqrt{3}$ ，连接 $B C$ ．

①若将 $C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $C D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是＿＿＿＿＿＿；

②若以 $B C$ 为斜边作 $R t △ B C D$ （ $B ， C ， D$ 三点按顺时针排列）， $∠ C D B ＝ 90 °$ ，连接 $A D$ ，当 $∠ C B D ＝ ∠ D A B ＝ 30 °$ 时，直接写出 $A D$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B （ 0 ， 9 ）$ ，与直线 $O C$ 交于点．

（1）求直线 $A B$ 的函数表达式；

（2）过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，将 $△ A C D$ 沿射线 $C B$ 平移得到的三角形记为 $△ A' C' D'$ ，点 $A ， C ， D$ 的对应点分别为 $A' ， C' ， D'$ ，若 $△ A' C' D'$ 与 $△ B O C$ 重叠部分的面积为 $S$ ，平移的距离 $C C' ＝ m$ ，当点 $A'$ 与点 $B$ 重合时停止运动．

①若直线 $C' D'$ 交直线 $O C$ 于点 $E$ ，则线段 $C' E$ 的长为＿＿＿＿＿＿（用含有 $m$ 的代数式表示）；

②当 $0 ＜ m ＜ \frac{10}{3}$ 时， $S$ 与 $m$ 的关系式为＿＿＿＿＿＿；

③当 $S = \frac{24}{5}$ 时， $m$ 的值为＿＿＿＿＿＿．