（本题12分）计算：（1）（2）（3）求x的值：-优题课

如图，在矩形纸片 $ABCD$ 中，已知 $AB = 1$ ， $BC = \sqrt{3}$ ，点 $E$ 在边 $CD$ 上移动，连接 $AE$ ，将多边形 $ABCE$ 沿直线 $AE$ 翻折，得到多边形 $AB' C' E$ ，点 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $B'$ 、 $C'$ ．

（1）当 $B' C'$ 恰好经过点 $D$ 时（如图 $1$ ），求线段 $CE$ 的长；

（2）若 $B' C'$ 分别交边 $AD$ ， $CD$ 于点 $F$ ， $G$ ，且 $∠ DAE = 22.5 °$ （如图 $2)$ ，求 $ΔDFG$ 的面积；

（3）在点 $E$ 从点 $C$ 移动到点 $D$ 的过程中，求点 $C'$ 运动的路径长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），将该抛物线位于 $x$ 轴上方曲线记作 $M$ ，将该抛物线位于 $x$ 轴下方部分沿 $x$ 轴翻折，翻折后所得曲线记作 $N$ ，曲线 $N$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．

（1）求曲线 $N$ 所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求 $ΔABC$ 外接圆的半径；

（3）点 $P$ 为曲线 $M$ 或曲线 $N$ 上的一动点，点 $Q$ 为 $x$ 轴上的一个动点，若以点 $B$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $Q$ 的坐标．

小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强 $7 : 30$ 从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚 $7 : 39$ 从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程 $y$ （千米）与校车行驶时间 $x$ （分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）求点 $A$ 的纵坐标 $m$ 的值；

（2）小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．

如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点 $A$ 处测得正前方小岛 $C$ 的俯角为 $30 °$ ，面向小岛方向继续飞行 $10 km$ 到达 $B$ 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为 $45 °$ ，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．

先化简，再求值： $\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 2$ ．