（本题8分）如图1，四边形OABC中，OAa，OC5，BC3-优题课

题文

（本题8分）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．

（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上，求a的值.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

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如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 为切点， $OF ⊥ AD$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．

（ 1 ）求证： $∠ ADC = ∠ AOF$ ；

（ 2 ）若 $\sin C = \frac{1}{3}$ ， $BD = 8$ ，求 $EF$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1 ， 2)$ ．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 $x > 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = mx (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = kx + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F, G$ 在 $AB$ 上， $EF ⊥ AB$ ， $OG ∥ EF$ ．

（1 ）求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；

（ 2 ）若 $AD = 10$ ， $EF = 4$ ，求 $OE$ 和 $BG$ 的长．

已知：如图， $△ A B C$ 为锐角三角形， $A B = B C ， C D ∥ A B$ ．

求作：线段 BP ，使得点 P 在直线 CD 上，且 $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ BAC$ ．

作法：①以点 A 为圆心， AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C ， P 两点；②连接 BP ．线段 BP 就是所求作线段．

（ 1 ）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（ 2 ）完成下面的证明．

证明： $∵ C D ∥ A B$ ，

$∴ ∠ A B P =$ ．

$∵ A B = A C$ ，

∴点 B 在⊙ A 上．

又∵ $∠ B P C = \frac{1}{2} ∠ B A C$ （）（填推理依据）

∴ $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C$

如图，在直角坐标系中，二次函数经过 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (0, 2)$ 三个点．

（ 1 ）求该二次函数的解析式．

（ 2 ）若在该函数图象的对称轴上有个动点 $D$ ，求当 $D$ 点坐标为何值时， $△ ACD$ 的周长最小．

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