如图，已知△ABC，过A点作AD∥BC,DF和AC交于E点，-优题课

有一个附有进、出水管的容器，每单位时间内进、出的水量都是一定的，设从某时开始 $5 \min$ 钟内只进水不出水，在随后的 $15 \min$ 内既进水又出水，得到时间 $x (\min)$ 与水量 $y (L)$ 之间的关系如图所示，若 $20 \min$ 后只出水不进水，求这时（即 $x ⩾ 20 \min$ ) $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出多长时间可将容器内的水放完?

如图，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 $y (km)$ 随时间 $x (\min)$ 变化的图象（全程）．根据图象回答下列问题：

（1）比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇?

（2）这次比赛全程是多少千米?

（3）比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇?

如图所示。设函数 $y ＝ x ＋ 4$ 的图象与 $y$ 轴交于 $A$ 点，函数 $y ＝ - 3 x - 6$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $B$ ，两个函数的图象交于点 $C$ ，求通过线段 $AB$ 的中点 $D$ 及 $C$ 点的一次函数解析式．

在 $2 ， 3$ 两个数之间，第一次写上 $\frac{2 ＋ 3}{1} ＝ 5$ ，第二次在 $2 ， 5$ 之间和 $5 ， 3$ 之间分别写上 $\frac{2 ＋ 5}{2} ＝ \frac{7}{2}$ 和 $\frac{5 ＋ 3}{2} ＝ 4$ ，如下所示：

第 $0$ 次操作： $2$ 　　　　　　　 $3$

第 $1$ 次操作： $2$ 　　　 $5$ 　　　　　 $3$

第 $2$ 次操作： $2$ 　　 $\frac{7}{2}$ 　　 $5$ 　　 $4$ 　 $3$

第 $3$ 次操作：…

第 $k$ 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 $\frac{1}{k}$ ．

（1）请写出第 $3$ 次操作后所得到的 $9$ 个数，并求出它们的和；

（2）经过 $k$ 次操作后所有数的和记为 $S_{k}$ ，第 $k ＋ 1$ 次操作后所有数的和记为 $S_{k ＋ 1}$ ，写出 $S_{k ＋ 1}$ 与 $S_{k}$ 之间的关系式；

（3）求 $S_{6}$ 的值．

点 $A ， B$ 分别在一次函数 $y ＝ x$ 与 $y ＝ 8 x$ 的图象上，其横坐标分别为 $a ， b (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ ，若直线 $AB$ 为一次函数 $y ＝ kx ＋ m$ 的图象，当 $\frac{b}{a}$ 是整数时，求满足条件的整数 $k$ 的值．