解方程（1）（2）-优题课

已知正方形 $ABCD$ 中， $∠ MAN = 45^{\circ} ， ∠ MAN$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，它的两边分别交 $CB ， DC$ （或它们的延长线）于点 $M ， N$ .当 $∠ MAN$ 绕点 $A$ 旋转得到 $BM = DN$ 时（如图1），易证 $BM + DN = MN$ .

（1）当 $∠ MAN$ 绕点 $A$ 旋转到 $BM \neq DN$ 时（如图2），线段 $BM ， DN$ 和 $MN$ 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；

（2）当 $∠ MAN$ 绕点 $A$ 旋转到如图3的位置时，线段 $BM ， DN$ 和 $MN$ 之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由.

如图，将边长为 $12 cm$ 的正方形 $ABCD$ 折叠，使得 $A$ 点落在 $CD$ 上的 $E$ 点，然后压平得折痕 $FG$ ，若 $FG = 13 cm$ ，求线段 $CE$ 之长.

以四边形 $ABCD$ 的边 $AB ， BC ， CD ， DA$ 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 $E ， F ， G ， H$ ，顺次连接这四个点，得四边形 $EFGH$ .

（1）如图①，当四边形 $ABCD$ 为正方形时，我们发现四边形 $EFGH$ 是正方形；

如图②，当四边形 $ABCD$ 为矩形时，请判断：四边形 $EFGH$ 的形状（不要求证明）；

（2）如图③，当四边形 $ABCD$ 为一般平行四边形时，设 $∠ ADC = α (0^{\circ} < α < 90^{\circ})$ .

①试用含 $α$ 的代数式表示 $∠ HAE$ ；

②求证： $HE = HG$ ；

③四边形 $EFGH$ 是什么四边形?并说明理由.

如图，设 $P$ 为等腰直角三角形 $ACB$ 斜边 $AB$ 上任意一点， $PE ⊥ AC$ 于点 $E ， PF ⊥ BC$ 于点 $F ， PG ⊥ EF$ 于 $G$ 点， $EF$ 交 $CP$ 于点 $H$ ，延长 $GP$ 并在其延长线上取一点 $D$ ，使得 $PD = PC$ .求证： $BC ⊥ BD$ ，且 $BC = BD$ .

在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AC = 2 AB$ ，点 $D ， P$ 分别是 $AC$ ， $BC$ 的中点， $△ ADE$ 是等腰三角形， $∠ AED = 90^{\circ}$ ，连接 $BE ， EC$ .

（1）判断线段 $BE$ 和 $EC$ 的关系，并证明你的结论；

（2）连接 $PA ， PE$ ，过点 $A$ 作 $AM / / PE$ ，过点 $E$ 作 $EM / / PA ， AM$ 和 $EM$ 相交于点 $M$ ，在图中先补充图形，再判断四边形 $PAME$ 的形状，并证明你的结论.