以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边分别向外侧作-优题课

以四边形 $ABCD$ 的边 $AB ， BC ， CD ， DA$ 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 $E ， F ， G ， H$ ，顺次连接这四个点，得四边形 $EFGH$ .

（1）如图①，当四边形 $ABCD$ 为正方形时，我们发现四边形 $EFGH$ 是正方形；

如图②，当四边形 $ABCD$ 为矩形时，请判断：四边形 $EFGH$ 的形状（不要求证明）；

（2）如图③，当四边形 $ABCD$ 为一般平行四边形时，设 $∠ ADC = α (0^{\circ} < α < 90^{\circ})$ .

①试用含 $α$ 的代数式表示 $∠ HAE$ ；

②求证： $HE = HG$ ；

③四边形 $EFGH$ 是什么四边形?并说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

已知抛物线 $c_{1}$ 的顶点为 $A (- 1, 4)$ ，与 $y$ 轴的交点为 $D (0, 3)$ ．

（1）求 $c_{1}$ 的解析式；

（2）若直线 $l_{1} : y = x + m$ 与 $c_{1}$ 仅有唯一的交点，求 $m$ 的值；

（3）若抛物线 $c_{1}$ 关于 $y$ 轴对称的抛物线记作 $c_{2}$ ，平行于 $x$ 轴的直线记作 $l_{2} : y = n$ ．试结合图形回答：当 $n$ 为何值时， $l_{2}$ 与 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若 $c_{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交点记作 $B$ ，试在 $x$ 轴上求点 $P$ ，使 $ΔPAB$ 为等腰三角形．

为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“ $A$ （洪家关）， $B$ （天门山）， $C$ （大峡谷）， $D$ （黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（1）本次调查的学生人数为　　；

（2）在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为　　；

（3）请将两个统计图补充完整；

（4）若该校共有2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为　　．

在等腰 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $AB$ ， $AC$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）分别延长 $CB$ ， $FD$ ，相交于点 $G$ ， $∠ A = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径为6，求阴影部分的面积．

阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位，把形如 $a + bi (a$ ， $b$ 为实数）的数叫做复数，其中 $a$ 叫这个复数的实部， $b$ 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．

例如计算： $(2 - i) + (5 + 3 i) = (2 + 5) + (- 1 + 3) i = 7 + 2 i$ ；

$(1 + i) \times (2 - i) = 1 \times 2 - i + 2 \times i - i^{2} = 2 + (- 1 + 2) i + 1 = 3 + i$ ；

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空： $i^{3} =$ 　， $i^{4} =$ 　　；

（2）计算： $(1 + i) \times (3 - 4 i)$ ；

（3）计算： $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2017}$ ．

位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体 $AD$ 和底座 $CD$ 两部分组成．如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 70.5 °$ ，在 $Rt Δ DBC$ 中， $∠ DBC = 45 °$ ，且 $CD = 2.3$ 米，求像体 $AD$ 的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 70.5 ° \approx 0.943$ ， $\cos 70.5 ° \approx 0.334$ ， $\tan 70.5 ° \approx 2.824)$