解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。（每小题4分，共8分-优题课

对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算： $a \otimes b = 2 a + b$ ，例如 $3 \otimes 4 = 2 \times 3 + 4 = 10$ ．

（1）求 $4 \otimes (- 3)$ 的值；

（2）若 $x \otimes (- y) = 2$ ， $(2 y) \otimes x = - 1$ ，求 $x + y$ 的值．

如图， $BD$ 是菱形 $ABCD$ 的对角线， $∠ CBD = 75 °$ ，

（1）请用尺规作图法，作 $AB$ 的垂直平分线 $EF$ ，垂足为 $E$ ，交 $AD$ 于 $F$ ；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接 $BF$ ，求 $∠ DBF$ 的度数．

先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} \div (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中 $x$ 为整数且满足不等式组 $\{\begin{matrix} x - 1 > 1, \\ 5 - 2 x ⩾ - 2 . \end{matrix}$

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ y$ 轴交抛物线于另一点 $D$ ，作 $DE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ，双曲线 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 经过点 $D$ ，连接 $MD$ ， $BD$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $N$ ， $F$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的两点，当以 $M$ ， $D$ ， $N$ ， $F$ 为顶点的四边形周长最小时，求出点 $N$ ， $F$ 的坐标；

（3）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $OC$ 方向运动，运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $∠ BPD$ 的度数最大？（请直接写出结果）

[问题探究]

（1）如图1， $ΔABC$ 和 $ΔDEC$ 均为等腰直角三角形， $∠ ACB = ∠ DCE = 90 °$ ，点 $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上，连接 $AD$ ， $BD$ ．

①请探究 $AD$ 与 $BD$ 之间的位置关系：　　；

②若 $AC = BC = \sqrt{10}$ ， $DC = CE = \sqrt{2}$ ，则线段 $AD$ 的长为　　；

[拓展延伸]

（2）如图2， $ΔABC$ 和 $ΔDEC$ 均为直角三角形， $∠ ACB = ∠ DCE = 90 °$ ， $AC = \sqrt{21}$ ， $BC = \sqrt{7}$ ， $CD = \sqrt{3}$ ， $CE = 1$ ．将 $ΔDCE$ 绕点 $C$ 在平面内顺时针旋转，设旋转角 $∠ BCD$ 为 $α (0 ° ⩽ α < 360 °)$ ，作直线 $BD$ ，连接 $AD$ ，当点 $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上时，画出图形，并求线段 $AD$ 的长．