如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一-优题课

为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“ $A$ ：自行车， $B$ ：电动车， $C$ ：公交车， $D$ ：家庭汽车， $E$ ：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　　名市民，扇形统计图中， $C$ 组对应的扇形圆心角是　　 $°$ ；

（2）请补全条形统计图；

（3）若甲、乙两人上班时从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．

如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $BD$ 上， $BE = DF$ ．

（1）求证： $AE = CF$ ；

（2）若 $AB = 6$ ， $∠ COD = 60 °$ ，求矩形 $ABCD$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点分别为 $A (- 1, - 2)$ ， $B (- 2, - 4)$ ， $C (- 4, - 1)$ ．

（1）把 $ΔABC$ 向上平移3个单位后得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

（2）已知点 $A$ 与点 $A_{2} (2, 1)$ 关于直线 $l$ 成轴对称，请画出直线 $l$ 及 $ΔABC$ 关于直线 $l$ 对称的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出直线 $l$ 的函数解析式．

以菱形 $ABCD$ 的对角线交点 $O$ 为坐标原点， $AC$ 所在的直线为 $x$ 轴，已知 $A (- 4, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ， $M (0, 4)$ ， $P$ 为折线 $BCD$ 上一动点，作 $PE ⊥ y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的纵坐标为 $a$ ．

（1）求 $BC$ 边所在直线的解析式；

（2）设 $y = M P^{2} + O P^{2}$ ，求 $y$ 关于 $a$ 的函数关系式；

（3）当 $ΔOPM$ 为直角三角形时，求点 $P$ 的坐标．

已知 $ΔABC$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 分别相切于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，若 $\hat{EF} = \hat{DE}$ ，如图1．

（1）判断 $ΔABC$ 的形状，并证明你的结论；

（2）设 $AE$ 与 $DF$ 相交于点 $M$ ，如图2， $AF = 2 FC = 4$ ，求 $AM$ 的长．