杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B-优题课

杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系，

（1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

在等腰梯形 $ABCD$ 中， $AB = DC = 5, AD = 4, BC = 10$ ，点 $E$ 在下底边 $BC$ 上，点 $F$ 在腰 $AB$ 上.

（1）若 $EF$ 平分等腰梯形 $ABCD$ 的周长，设 $BE$ 长为 $x$ ，试用含 $x$ 的代数式表示 $△ BEF$ 的面积；

（2）是否存在线段 $EF$ 将等腰梯形 $ABCD$ 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段 $EF$ 将等腰梯形 $ABCD$ 的周长和面积同时分成 $1 : 2$ 的两部分?若存在，求出此时 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由.

如图，在平面直角坐标系中， $△ AOB$ 的边 $OA$ 在 $x$ 轴上， $OA = AB$ ，且线段 $OA$ 的长是方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的根，过点 $B$ 作 $BE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E, tan ∠ BAE = \frac{4}{3}$ ，动点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度，从点 $A$ 出发，沿线段 $AB$ 向点 $B$ 运动，到达点 $B$ 停止.过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，以 $MD$ 为边作正方形 $MDCF$ ，点 $C$ 在线段 $OA$ 上，设正方形 $MDCF$ 与 $△ AOB$ 重叠部分的面积为 $S$ ，点 $M$ 的运动时间为 $t (t > 0) s$ .

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

（3）当点 $F$ 落在线段 $OB$ 上时，坐标平面内是否存在一点 $P$ ，使以 $M, A, O, P$ 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，已知二次函数的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 和 $B (- 3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C (0, - 3)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，直线 $y = - 2 x + m$ 经过点 $A$ ，且与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与抛物线交于点 $E$ ，与对称轴交于点 $F$ .

（1）求抛物线的解析式和 $m$ 的值；

（2）在 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得以 $D, E, P$ 为顶点的三角形与 $△ AOD$ 相似，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y = 1$ 上有 $M, N$ 两点 $(M$ 在 $N$ 的左侧 $)$ ，且 $MN = 2$ ，若将线段 $MN$ 在直线 $y = 1$ 上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $MEFN$ 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $AP, BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A, B$ 分别在射线 $OM, ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ .当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为 $5, AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长.

如图，已知 $⊙ O$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆，直线 $AD, BC$ 相交于点 $E, F$ 是弦 $CD$ 的中点，延长直线 $EF$ 交弦 $AB$ 于点 $G$ ，求证:

（1） $ED \cdot EA = EC \cdot EB$ ；

（2） $AG : GB = A E^{2} : B E^{2}$ .