新一届中央领导集体非常重视勤俭节约,从“光盘行动”到“节约办春晚”。到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘族”.政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取人进行了一次调查,得到如下统计表:
组数 |
分组 |
频数 |
频率 |
光盘族占本组比例 |
第1组 |
[25,30) |
50 |
0.05 |
30% |
第2组 |
[30,35) |
100 |
0.10 |
30% |
第3组 |
[35,40) |
150 |
0.15 |
40% |
第4组 |
[40,45) |
200 |
0.20 |
50% |
第5组 |
[45,50) |
a |
b |
65% |
第6组 |
[50,55) |
200 |
0.20 |
60% |
(1)求的值,并估计本社区[25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例;
(2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动,并从这8人中选取2人作为领队.求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。
(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)当平面PCD与平面ABCD成多大角时,直线EF⊥平面PCD?
(本小题满分12分)已知向量函数
的最小正周期为
.
(Ⅰ)求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)在中,角
的对边分别是
,且满足
,求△
的面积.
(本小题满分14分)已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,且抛物线
的焦点为椭圆
的顶点,过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)求面积的取值范围.
(Ⅲ)若,是否存在大于1的常数
,使得椭圆上存在点
,满足
?若存在,试求出
的取值;若不存在,试说明理由.
(本小题满分13分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得当
时,对任意的
,恒有
?若存在,试求出实数
的取值范围,若不存在,试说明理由.
(本小题满分12分)已知等差数列单调递增,且
,
是
与
的等比中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前
项和为
,求数列
的前
项和
.