（本小题满分12分）已知直线
与椭圆
相交于
、
两点．
（1）若椭圆的离心率为
，焦距为
，求线段
的长；
（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．
设
和
在
上的图象是连续不断的一条曲线，而且
．证明：在
上至少存在一个
，使
．
某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给
地10台，
地8台．已知从甲地调动1台至地，地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至地，地的费用分别为300元和500元．
（１）设从乙地调运
台至地，求总费用
关于台数的函数解析式；
（２）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
（３）求出总运费最低的调运方案及最低的费用．
某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过
，若初时含杂质
，每过滤一次可使杂质含量减少
，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知
）
某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为
（万元）
，其中
是产品售出的数量（单位：百台）．
（１）把利润表示为年产量的函数；
（２）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（３）年产量是多少时，工厂才不亏本？
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为
元／千克，政府补贴为
元／千克．根据市场调查，当
时，淡水鱼的市场日供产量
千克与市场日需求量
千克近似地满足关系：
，
，
，
，．
当
时的市场价格称为市场平衡价格．
（１）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
（２）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？