(8分)如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB-优题课

如图，在直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $H$ 是 $ΔABC$ 的内心，

$AH$ 的延长线和三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 相交于点 $D$ ，连接 $DB$ ．

（1）求证： $DH = DB$ ；

（2）过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线交 $AC$ 、 $AB$ 的延长线分别于点 $E$ 、 $F$ ，已知 $CE = 1$ ，圆 $O$ 的直径为5．

①求证： $EF$ 为圆 $O$ 的切线；

②求 $DF$ 的长．

为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由 $A$ 、 $B$ 两个工程公司承担建设，已知 $A$ 工程公司单独建设完成此项工程需要180天， $A$ 工程公司单独施工45天后， $B$ 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．

（1）求 $B$ 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？

（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工， $A$ 工程公司建设其中一部分用了 $m$ 天完成， $B$ 工程公司建设另一部分用了 $n$ 天完成，其中 $m$ ， $n$ 均为正整数，且 $m < 46$ ， $n < 92$ ，求 $A$ 、 $B$ 两个工程公司各施工建设了多少天？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $A (m, 2)$ ，点 $B (- 1, - 4)$ ．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）把直线 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴负方向平移2个单位后得到直线 $y_{3}$ ，直线 $y_{3}$ 与双曲线 $y_{2}$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，当 $y_{2} > y_{3}$ 时，求 $x$ 的取值范围．

某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）．

组别	单次营运里程“ $x$ ”（公里）	频数
第一组	$0 < x ⩽ 5$	72
第二组	$5 < x ⩽ 10$	$a$
第三组	$10 < x ⩽ 15$	26
第四组	$15 < x ⩽ 20$	24
第五组	$20 < x ⩽ 25$	30

根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：

（1）①表中 $a =$ 　　；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为　　；③请把频数分布直方图补充完整；

（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；

（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机 $(3$ 男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率．

如图，点 $E$ 、 $F$ 分别是矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 、 $AB$ 上一点，若 $AE = DC = 2 ED$ ，且 $EF ⊥ EC$ ．

（1）求证：点 $F$ 为 $AB$ 的中点；

（2）延长 $EF$ 与 $CB$ 的延长线相交于点 $H$ ，连接 $AH$ ，已知 $ED = 2$ ，求 $AH$ 的值．