当时，求代数式的值-优题课

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $AD$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ，且交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．连接 $OC$ ， $BE$ ，相交于点 $F$ ．

（1）求证： $EF = BF$ ；

（2）若 $DC = 4$ ， $DE = 2$ ，求直径 $AB$ 的长．

某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

17	18	16	13	24	15	28	26	18	19
22	17	16	19	32	30	16	14	15	26
15	32	23	17	15	15	28	28	16	19

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．

频数分布表

组别	一	二	三	四	五	六	七
销售额	$13 ⩽ x < 16$	$16 ⩽ x < 19$	$19 ⩽ x < 22$	$22 ⩽ x < 25$	$25 ⩽ x < 28$	$28 ⩽ x < 31$	$31 ⩽ x < 34$
频数	7	9	3	$a$	2	$b$	2

数据分析表

平均数	众数	中位数
20.3	$c$	18

请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有　　位营业员获得奖励；

（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．

如图，沿 $AC$ 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 $AC$ 上的一点 $B$ 取 $∠ ABD = 120 °$ ， $BD = 520 m$ ， $∠ D = 30 °$ ．那么另一边开挖点 $E$ 离 $D$ 多远正好使 $A$ ， $C$ ， $E$ 三点在一直线上 $(\sqrt{3}$ 取1.732，结果取整数）？

一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率．

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $Rt Δ ABC$ 的内切圆与斜边 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AD = 3$ ， $BD = 4$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

解：设 $ΔABC$ 的内切圆分别与 $AC$ 、 $BC$ 相切于点 $E$ 、 $F$ ， $CE$ 的长为 $x$ ．

根据切线长定理，得 $AE = AD = 3$ ， $BF = BD = 4$ ， $CF = CE = x$ ．

根据勾股定理，得 ${(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2} = {(3 + 4)}^{2}$ ．

整理，得 $x^{2} + 7 x = 12$ ．

所以 $S_{ΔABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC$

$= \frac{1}{2} (x + 3) (x + 4)$

$= \frac{1}{2} (x^{2} + 7 x + 12)$

$= \frac{1}{2} \times (12 + 12)$

$= 12$ ．

小颖发现12恰好就是 $3 \times 4$ ，即 $ΔABC$ 的面积等于 $AD$ 与 $BD$ 的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $ΔABC$ 的内切圆与 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AD = m$ ， $BD = n$ ．

可以一般化吗？

（1）若 $∠ C = 90 °$ ，求证： $ΔABC$ 的面积等于 $mn$ ．

倒过来思考呢？

（2）若 $AC \cdot BC = 2 mn$ ，求证 $∠ C = 90 °$ ．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $∠ C = 60 °$ ，用 $m$ 、 $n$ 表示 $ΔABC$ 的面积．

17	18	16	13	24	15	28	26	18	19
22	17	16	19	32	30	16	14	15	26
15	32	23	17	15	15	28	28	16	19

17	18	16	13	24	15	28	26	18	19
22	17	16	19	32	30	16	14	15	26
15	32	23	17	15	15	28	28	16	19

17	18	16	13	24	15	28	26	18	19
22	17	16	19	32	30	16	14	15	26
15	32	23	17	15	15	28	28	16	19