如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的中点为 $O$ ，点 $G$ ， $H$ 在对角线 $AC$ 上， $AG = CH$ ，直线 $GH$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α$ 角，与边 $AB$ 、 $CD$ 分别相交于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合）．

（1）求证：四边形 $EHFG$ 是平行四边形；

（2）若 $∠ α = 90 °$ ， $AB = 9$ ， $AD = 3$ ，求 $AE$ 的长．

“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产品的实际定价是多少元？

2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

1）计算： $| \sqrt{3} - 2 | + π^{0} + {(- 1)}^{2019} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

（2）先化简，再求值： $1 - \frac{a + 3}{a^{2} - 1} \div \frac{a + 3}{a - 1}$ ，其中 $a = 2$ ；

（3）解方程组： $\{\begin{matrix} 2 x - y = 5, \\ 3 x + 4 y = 2 \cdot \end{matrix}$

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = 10 cm$ ， $BC = 8 cm$ ， $OD$ 垂直平分 $A$ $C$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $BA$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 $P$ 作 $PE ⊥ AB$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $QF / / AC$ ，分别交 $AD$ ， $OD$ 于点 $F$ ， $G$ ．连接 $OP$ ， $EG$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 5)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时，点 $E$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上？

（2）设四边形 $PEGO$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使四边形 $PEGO$ 的面积最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 $OE$ ， $OQ$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $OE ⊥ OQ$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．