已知：如图，在四边形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}//\mathit{CD}$，$\angle \mathit{ACB}=90°$，$\mathit{AB}=10\mathit{cm}$，$\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，$\mathit{OD}$垂直平分$A$ $C$．点$P$从点$B$出发，沿$\mathit{BA}$方向匀速运动，速度为$1\mathit{cm}/s$；同时，点$Q$从点$D$出发，沿$\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为$1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点$P$作$\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$，交$\mathit{BC}$于点$E$，过点$Q$作$\mathit{QF}//\mathit{AC}$，分别交$\mathit{AD}$，$\mathit{OD}$于点$F$，$G$．连接$\mathit{OP}$，$\mathit{EG}$．设运动时间为$t\left(s\right)(0<t<5)$，解答下列问题：

（1）当$t$为何值时，点$E$在$\angle \mathit{BAC}$的平分线上？

（2）设四边形$\mathit{PEGO}$的面积为$S\left(c{m}^2\right)$，求$S$与$t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使四边形$\mathit{PEGO}$的面积最大？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接$\mathit{OE}$，$\mathit{OQ}$，在运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使$\mathit{OE}\perp \mathit{OQ}$？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 解直角三角形 相似三角形的判定与性质 四边形综合题