(本题满分12分,第(Ⅰ)问6分,第(Ⅱ)问6分)如图一,是正三角形,
是等腰直角三角形,
.将
沿
折起,使得
, 如图二,
为
的中点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求的面积;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
(本题满分13分,第(Ⅰ)问6分,第(Ⅱ)问7分)已知椭圆及直线
:
.
(Ⅰ)当直线和椭圆有公共点时,求实数
的取值范围.
(Ⅱ)求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
(本题满分13分,第(Ⅰ)7分,第(Ⅱ)问6分)已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的递减区间.
(Ⅱ)讨论函数f(x)的极值情况,如有,求出极值.
(本题满分13分,第(Ⅰ)问4分,第(Ⅱ)问4分, 第(Ⅲ)问5分)
甲、乙 两人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为,求:
(Ⅰ)两个人都能译出密码的概率;
(Ⅱ)恰有一个人译出密码的概率;
(Ⅲ)至多有一个人译出密码的概率.
(本小题满分12分)已知双曲线的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线
与抛物线
交于不同的两点
,若在
轴上存在一点
使得
是等边三角形,求
的值.