计算：（1）（2）-优题课

如图，将边长为6的正三角形纸片 $ABC$ 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $AD$ 、 $BE$ （如图①），点 $O$ 为其交点．

（1）探求 $AO$ 与 $OD$ 的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$ ， $N$ 分别为 $BE$ ， $BC$ 上的动点．

①当 $PN + PD$ 的长度取得最小值时，求 $BP$ 的长度；

②如图③，若点 $Q$ 在线段 $BO$ 上， $BQ = 1$ ，则 $QN + NP + PD$ 的最小值 $=$ 　　．

如图①，菱形 $ABCD$ 中， $AB = 5 cm$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $BC - CD - DA$ 运动到点 $A$ 停止，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $AB$ 运动到点 $B$ 停止，它们运动的速度相同，设点 $P$ 出发 $xs$ 时， $ΔBPQ$ 的面积为 $yc m^{2}$ ．已知 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示，其中 $OM$ 、 $MN$ 为线段，曲线 $NK$ 为抛物线的一部分．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当 $1 < x < 2$ 时， $ΔBPQ$ 的面积　　（填“变”或“不变” $)$ ；

（2）分别求出线段 $OM$ ，曲线 $NK$ 所对应的函数表达式；

（3）当 $x$ 为何值时， $ΔBPQ$ 的面积是 $5 c m^{2}$ ？

如图，已知 $AC ⊥ BC$ ，垂足为 $C$ ， $AC = 4$ ， $BC = 3 \sqrt{3}$ ，将线段 $AC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到线段 $AD$ ，连接 $DC$ ， $DB$ ．

（1）线段 $DC =$ 　　；

（2）求线段 $DB$ 的长度．

（1）解方程： $\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 1}$

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x > 0 \\ \frac{x + 1}{2} > \frac{2 x - 1}{3} \end{matrix}$ ．

计算：

（1） ${(- 2)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2017^{0}$

（2） $(1 + \frac{4}{x - 2}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 4 x + 4}$ ．