（本题10分）某单位在七月份准备组织部分员工到北京旅游，现联-优题课

（本题10分）某单位在七月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠．
（1）如果设参加旅游的员工共有m（m）人，则甲旅行社的总费用为元，乙旅行社的总费用为元；（用含有m的代数式表示，并化简．）
（2）假如这个单位现组织包括带队管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．
（3）如果该单位计划组织员工在七月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为，则这七天的日期之和为．（用含的代数式表示，并化简．）
（4）假如这七天的日期之和为49的倍数，则他们可能于七月几号出发?（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程．）

科目数学题型解答题难度中等

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + bx + c$ 过点 $B$ 且与直线相交于另一点 $C (\frac{5}{2}$ ， $\frac{3}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一动点，当 $∠ PAO = ∠ BAO$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $N (n$ ， $0) (0 < n < \frac{5}{2})$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $M (0, m)$ 是 $y$ 轴正半轴上的一动点，且满足 $∠ MNC = 90 °$ ．

①求 $m$ 与 $n$ 之间的函数关系式；

②当 $m$ 在什么范围时，符合条件的 $N$ 点的个数有2个？

定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

理解：

（1）若四边形 $ABCD$ 是对余四边形，则 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的度数之和为　　；

证明：

（2）如图1， $MN$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AM$ ， $CN$ 相交于点 $D$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是对余四边形；

探究：

（3）如图2，在对余四边形 $ABCD$ 中， $AB = BC$ ， $∠ ABC = 60 °$ ，探究线段 $AD$ ， $CD$ 和 $BD$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．

（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？

（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩 $m$ 盒 $(m$ 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 $m$ 的代数式表示．

（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付 $w$ 元，求 $w$ 关于 $m$ 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $O$ 在 $AC$ 上，以 $OA$ 为半径的半圆 $O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $DF$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BF = DF$ ；

（2）若 $AC = 4$ ， $BC = 3$ ， $CF = 1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 $t$ （单位： $\min)$ ，然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．

在线阅读时间频数分布表

组别	在线阅读时间 $t$	人数
$A$	$10 ⩽ t < 30$	4
$B$	$30 ⩽ t < 50$	8
$C$	$50 ⩽ t < 70$	$a$
$D$	$70 ⩽ t < 90$	16
$E$	$90 ⩽ t < 110$	2

根据以上图表，答案下列问题：

（1）这次被调查的同学共有　　人， $a =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）求扇形统计图中扇形 $D$ 的圆心角的度数；

（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于 $50 \min$ ？