解方程：x-优题课

中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的 $3.5$ 小时缩短至 $1$ 小时，运行里程缩短了 $40$ 千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快 $200$ 千米，求高铁的平均速度．

如图所示的方格纸（ $1$ 格长为一个单位长度）中， $△ A O B$ 的顶点坐标分别为 $A （ 3 ， 0 ）， O （ 0 ， 0 ）， B （ 3 ， 4 ）$ ．

（1）将 $△ A O B$ 沿 $x$ 轴向左平移 $5$ 个单位，画出平移后的 $△ A_{1} O_{1} B_{1}$ （不写作法，但要标出顶点字母）；

（2）将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $△ A_{2} O_{2} B_{2}$ （不写作法，但要标出顶点字母）；

（3）在（2）的条件下，求点 $B$ 绕点 $O$ 旋转到点 $B_{2}$ 所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

先化简 $（ 1 - \frac{1}{a - 1} ）$ $\div \frac{a - 2}{2} + \frac{a - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，再从 $1 ， 2 ， 3$ 中选一个适当的数代入求值．

计算： $2 \cos 45 ° + （ π ﹣ 3.14 ）^{0}$ $+ | 1 - \sqrt{2} | +$ $（ \frac{1}{2} ）^{﹣ 1}$ ．

综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平；

操作二：在 $A D$ 上选一点 $P$ ，沿 $B P$ 折叠，使点 $A$ 落在矩形内部点 $M$ 处，把纸片展平，连接 $P M ， B M$ ．

根据以上操作，当点 $M$ 在 $E F$ 上时，写出图1中一个 $30 °$ 的角：＿＿＿＿＿＿．

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片 $A B C D$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $P M$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $B Q$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $E F$ 上时， $∠ M B Q ＝$ ＿＿＿＿＿＿ $°$ ， $∠ C B Q ＝$ ＿＿＿＿＿＿ $°$ ；

②改变点 $P$ 在 $A D$ 上的位置（点 $P$ 不与点 $A ， D$ 重合），如图3，判断 $∠ M B Q$ 与 $∠ C B Q$ 的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $8 c m$ ，当 $F Q ＝ 1 c m$ 时，直接写出 $A P$ 的长．