如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线-优题课

如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.若P为AC上的点，且满足。

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：空间向量基本定理及坐标表示

已知 $△ A B C$ 的顶点 $A, B$ 在椭圆 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ 上， $C$ 在直线 $l : y = x + 2$ 上，且 $A B / / l$ .
（Ⅰ）当 $A B$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $A B$ 的长及 $△ A B C$ 的面积；
（Ⅱ）当 $∠ A B C = 90 °$ ，且斜边 $A C$ 的长最大时，求 $A B$ 所在直线的方程。

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A, B, C, D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + + 3 b x + c (b \neq 0)$ ，且 $g (x) = f (x) - 2$ 是奇函数.
（Ⅰ）求 $a, c$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间.

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A P = B P = A B$ ， $P C ⊥ A C$ .

（Ⅰ）求证： $P C ⊥ A B$ ；
（Ⅱ）求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \sin (ω x + \frac{π}{2})$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ 。
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的取值范围。

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