在数列中，，当时，满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列-优题课

在数列中，，当时，满足．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使得对所有都成立的实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度较难

$△ A B C$ 在内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + c \sin B$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 离心率为直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$

（I）求 $a, b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交有 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}| - |B F_{1}|$ 证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 x + 1$ .

（I）当 $a = - \sqrt{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in [2, + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ 各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °, B C = 2 A D, △ P A B$ $与 △ P A D$ 都是边长为2的等边三角形.

（I）证明： $P B ⊥ C D$

（II）求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.