某服装厂加工车间有54名工人，每人每天可加工上衣8件或裤子1-优题课

问题提出

（1）如图①，已知直线 $l$ 及 $l$ 外一点 $A$ ，试在直线 $l$ 上确定 $B$ 、 $C$ 两点，使 $∠ BAC = 90 °$ ，并画出这个 $Rt Δ ABC$ ．

问题探究

（2）如图②， $O$ 是边长为28的正方形 $ABCD$ 的对称中心， $M$ 是 $BC$ 边上的中点，连接 $OM$ ．试在正方形 $ABCD$ 的边上确定点 $N$ ，使线段 $ON$ 和 $OM$ 将正方形 $ABCD$ 分割成面积之比为 $1 : 6$ 的两部分．求点 $N$ 到点 $M$ 的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园 $ABCD$ ， $AB = 30 m$ ， $BC = 40 m$ ．根据设计要求，点 $E$ 、 $F$ 在对角线 $BD$ 上，且 $∠ EAF = 60 °$ ，并在四边形区域 $AECF$ 内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

在平面直角坐标系中，抛物线 $L$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (1, - 2)$ ．

（1）求抛物线 $L$ 的表达式；

（2）连接 $AC$ 、 $BC$ ．以点 $D (1, 2)$ 为位似中心，画△ $A' B' C'$ ，使它与 $ΔABC$ 位似，且相似比为2， $A'$ 、 $B'$ 、 $C'$ 分别是点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点．试判定是否存在满足条件的点 $A'$ 、 $B'$ 在抛物线 $L$ 上？若存在，求点 $A'$ 、 $B'$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $⊙ O$ 的半径 $OA = 6$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线 $AP$ ，且 $AP = 8$ ，连接 $PO$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于点 $B$ 、 $D$ ，过点 $B$ 作 $BC / / OA$ ，并与 $⊙ O$ 交于点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $CD$ ．

（1）求证： $DC / / AP$ ；

（2）求 $AC$ 的长．

从同一副扑克牌中选出7张，分为 $A$ 、 $B$ 两组，其中 $A$ 组是三张牌，牌面数字分别为1，2，3； $B$ 组是四张牌，牌面数字分别为5，6，7，8．

（1）将 $A$ 组牌的背面都朝上，洗匀，随机抽出一张，求抽出的这张牌的牌面数字是3的概率；

（2）小亮与小涛商定了一个游戏规则：分别将 $A$ 、 $B$ 两组牌的背面都朝上，洗匀，再分别从 $A$ 、 $B$ 两组牌中各随机抽出一张，将这两张牌的牌面数字相加，若和为偶数，则小亮获胜；若和为奇数，则小涛获胜．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

在所挂物体质量不超过 $25 kg$ 时，一弹簧的长度 $y (cm)$ 是所挂物体质量 $x (kg)$ 的一次函数，其图象如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；

（2）若该弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为 $16 cm$ ，求这个物体的质量．