已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ-优题课

已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：∥平面．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：空间向量的应用平行线法

如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上， $∠ A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ， $D B$ 垂直 $B E$ 交圆于点 $D$ 。

（Ⅰ）证明： $D B = D C$ ；
（Ⅱ）设圆的半径为 $1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $△ B C F$ 外接圆的半径。

已知圆 $M : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ） $l$ 是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长是，求 $|A B|$ .

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ， $A B = A A_{1}$ ， $∠ B A A_{1} = 60 °$ .

（Ⅰ）证明： $A B ⊥ A_{1} C$ ；
（Ⅱ）若 $A B = C B = 2$ , $A_{1} C = \sqrt{6}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 $A$ 药， $B$ 药）的疗效，随机地选取20位患者服用 $A$ 药，20位患者服用 $B$ 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{3} = 0$ ， $S_{5} = - 5$ 。
（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 $\{\frac{1}{a_{2 n - 1} a_{2 n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和。

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