如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）-优题课

如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理二次函数在给定区间上的最值

如图，直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 交于点 $A (- \frac{1}{2}$ ， $2)$ ， $B (n, - 1)$ ．

（1）求直线与双曲线的解析式．

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，如果 $S_{ΔABP} = 3$ ，求点 $P$ 的坐标．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 2) x + (m^{2} - 2 m) = 0$ ．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，求 $m$ 的值．

“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：

成绩 $/$ 分	7	8	9	10
人数 $/$ 人	2	5	4	4

（1）这组数据的众数是　　，中位数是　　．

（2）已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．

如图，已知 $AB = AD$ ， $AC = AE$ ， $∠ BAE = ∠ DAC$ ．

求证： $∠ C = ∠ E$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 过点 $A (\sqrt{3}$ ， $- 3)$ 和点 $B (3 \sqrt{3}$ ， $0)$ ．过点 $A$ 作直线 $AC / / x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$ ，过点 $P$ 作直线 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$ ．连接 $OA$ ，使得以 $A$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $ΔAOC$ 相似，求出对应点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $S_{ΔAOC} = \frac{1}{3} S_{ΔAOQ}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．