已知，求代数式的值．-优题课

（1）解方程： $\frac{1}{x - 3} = \frac{3}{x}$

（2）解不等式： $2 (x - 6) + 4 ⩽ 3 x - 5$ ，并将它的解集在数轴上表示出来．

（1）计算： $\tan 45 ° - {(\sqrt{2} - 1)}^{0} + | - 5 |$

（2）化简： $\frac{2 a - 1}{a - 1} - \frac{a^{2} - a}{{(a - 1)}^{2}}$ ．

如图1，二次函数 $y = a x^{2} + bx$ 的图象过点 $A (- 1, 3)$ ，顶点 $B$ 的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$ 在该二次函数的图象上，点 $Q$ 在 $x$ 轴上，若以 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图3，一次函数 $y = kx (k > 0)$ 的图象与该二次函数的图象交于 $O$ 、 $C$ 两点，点 $T$ 为该二次函数图象上位于直线 $OC$ 下方的动点，过点 $T$ 作直线 $TM ⊥ OC$ ，垂足为点 $M$ ，且 $M$ 在线段 $OC$ 上（不与 $O$ 、 $C$ 重合），过点 $T$ 作直线 $TN / / y$ 轴交 $OC$ 于点 $N$ ．若在点 $T$ 运动的过程中， $\frac{O N^{2}}{OM}$ 为常数，试确定 $k$ 的值．

已知正方形 $ABCD$ 的边长为4，一个以点 $A$ 为顶点的 $45 °$ 角绕点 $A$ 旋转，角的两边分别与边 $BC$ 、 $DC$ 的延长线交于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $EF$ ．设 $CE = a$ ， $CF = b$ ．

（1）如图1，当 $∠ EAF$ 被对角线 $AC$ 平分时，求 $a$ 、 $b$ 的值；

（2）当 $ΔAEF$ 是直角三角形时，求 $a$ 、 $b$ 的值；

（3）如图3，探索 $∠ EAF$ 绕点 $A$ 旋转的过程中 $a$ 、 $b$ 满足的关系式，并说明理由．

如图1，以 $ΔABC$ 的边 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交边 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AC$ 于点 $D$ ，且 $ED ⊥ AC$ ．

（1）试判断 $ΔABC$ 的形状，并说明理由；

（2）如图2，若线段 $AB$ 、 $DE$ 的延长线交于点 $F$ ， $∠ C = 75 °$ ， $CD = 2 - \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $BF$ 的长．