某公司经销一种商品，每件商品的成本为50元，经市场的调查，在-优题课

某公司经销一种商品，每件商品的成本为50元，经市场的调查，在一段时间内，销售量（件）随销售单价x（元／件）的变化而变化，具体关系式为，
设这种商品在这段时间内的销售利润为y（元），解答如下问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大?
（3）如果物价部门规定这种商品的销售单价不得高于80元／件，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值二次函数在给定区间上的最值

一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 $y$ （升 $)$ 与行驶路程 $x$ （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；（不需要写定义域）

（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = BC = 5$ ， $\tan ∠ ABC = \frac{3}{4}$ ．

（1）求边 $AC$ 的长；

（2）设边 $BC$ 的垂直平分线与边 $AB$ 的交点为 $D$ ，求 $\frac{AD}{DB}$ 的值．

如图，已知 $⊙ O$ 的半径长为1， $AB$ 、 $AC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $AB = AC$ ， $BO$ 的延长线交 $AC$ 于点 $D$ ，联结 $OA$ 、 $OC$ ．

（1）求证： $ΔOAD ∽ ΔABD$ ；

（2）当 $ΔOCD$ 是直角三角形时，求 $B$ 、 $C$ 两点的距离；

（3）记 $ΔAOB$ 、 $ΔAOD$ 、 $ΔCOD$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，如果 $S_{2}$ 是 $S_{1}$ 和 $S_{3}$ 的比例中项，求 $OD$ 的长．

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图），已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (2, 2)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，顶点为 $B$ ．

（1）求这条抛物线的表达式和点 $B$ 的坐标；

（2）点 $M$ 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 $m$ ，联结 $AM$ ，用含 $m$ 的代数式表示 $∠ AMB$ 的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 $C$ 在 $x$ 轴上．原抛物线上一点 $P$ 平移后的对应点为点 $Q$ ，如果 $OP = OQ$ ，求点 $Q$ 的坐标．

已知：如图，四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $AD = CD$ ， $E$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $EA = EC$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）如果 $BE = BC$ ，且 $∠ CBE : ∠ BCE = 2 : 3$ ，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形．

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