已知函数，的图像在点处的切线为．（）．（1）求函数的解析式；-优题课

已知函数，的图像在点处的切线为．（）．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = |x - a|, 其中 a > 1$

（I） $当 a = 2 时，求不等式 f (x) \geq 4 - |x - 4| 的解集。$

（II） $已知关于 x 的不等式 |f (2 x + a) - 2 f (x)| \leq 2 的解集为 \{x 1 \leq x \leq 2\}$ ， $求 a 的值$ 。

在直角坐标系 $x O y$ 中以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 $C_{1}$ ，直线 $C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $ρ = 4 \sin θ, ρ = \cos (θ - \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .
（I）求 $C_{1}, C_{2}$ 交点的极坐标.
（II）设 $P$ 为 $C_{1}$ 的圆心，为 $C_{1}, C_{2}$ 交点连线的中点，已知直线 $P Q$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t^{3} + a \\ y = \frac{b}{2} t^{3} + 1 \end{matrix}$ ( $t \in R$ 为参数),求 $a, b$ 的值.

如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于 $E$ . $A D$ 垂直于 $C D$ 于 $D$ ， $B C$ 垂直于 $C D$ 于 $C$ ， $E F$ 垂直于 $F$ ，连接 $A E, B E$ .

证明：

（I） $∠ F E B = ∠ C E B$ ;

（II） $E F^{2} = A D \cdot B C$ .

（I）证明当 $x \in [0, 1] 时， \frac{\sqrt{2}}{2} x \leq \sin x \leq x$  
（II）若不等式 $a x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2} + 2 (x + 2) \cos x \leq 4 对 x \in [0, 1]$ 恒成立,求实数 $a$ 取值范围.

如图，抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y, C_{2} : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，过 $M$ 作 $C_{1}$ 的切线，切点为 $A, B$ ( $M$ 为原点 $O$ 时， $A, B$ 重合于 $O$ ),当 $x_{0} = 1 - \sqrt{2}$ 时，切线 $M A$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ .

（I）求 $P$ 的值；
（II）当 $M$ 在 $C_{2}$ 上运动时,求线段 $A B$ 中点 $N$ 的轨迹方程( $A, B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$ ).

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