如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F、G-优题课

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． $ΔABC$ 是边长为2的等边三角形， $E$ 是 $AC$ 上一点，小亮以 $BE$ 为边向 $BE$ 的右侧作等边三角形 $BEF$ ，连接 $CF$ ．

（1）如图1，当点 $E$ 在线段 $AC$ 上时， $EF$ 、 $BC$ 相交于点 $D$ ，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点 $E$ 在线段 $AC$ 上运动时，点 $F$ 也随着运动，若四边形 $ABFC$ 的面积为 $\frac{7}{4} \sqrt{3}$ ，求 $AE$ 的长．

（3）如图2，当点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上运动时， $CF$ 、 $BE$ 相交于点 $D$ ，请你探求 $ΔECD$ 的面积 $S_{1}$ 与 $ΔDBF$ 的面积 $S_{2}$ 之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当 $ΔECD$ 的面积 $S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ 时，求 $AE$ 的长．

如图1，图形 $ABCD$ 是由两个二次函数 $y_{1} = k x^{2} + m (k < 0)$ 与 $y_{2} = a x^{2} + b (a > 0)$ 的部分图象围成的封闭图形．已知 $A (1, 0)$ 、 $B (0, 1)$ 、 $D (0, - 3)$ ．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形 $ABCD$ 是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 $ABCD$ 上），并说明理由；

（3）如图2，连接 $BC$ ， $CD$ ， $AD$ ，在坐标平面内，求使得 $ΔBDC$ 与 $ΔADE$ 相似（其中点 $C$ 与点 $E$ 是对应顶点）的点 $E$ 的坐标．

如图1，水坝的横截面是梯形 $ABCD$ ， $∠ ABC = 37 °$ ，坝顶 $DC = 3 m$ ，背水坡 $AD$ 的坡度 $i$ （即 $\tan ∠ DAB)$ 为 $1 : 0.5$ ，坝底 $AB = 14 m$ ．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 $AE = 2 DF$ ， $EF ⊥ BF$ ，求 $DF$ 的长．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4})$

某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调查．获取信息如下：

	购买数量低于5000块	购买数量不低于5000块
红色地砖	原价销售	以八折销售
蓝色地砖	原价销售	以九折销售

如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．

（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？

（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于 $A (4, - 2)$ 、 $B (- 2, n)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $k_{2}$ ， $n$ 的值；

（2）请直接写出不等式 $k_{1} x + b < \frac{k_{2}}{x}$ 的解集；

（3）将 $x$ 轴下方的图象沿 $x$ 轴翻折，点 $A$ 落在点 $A'$ 处，连接 $A' B$ ， $A' C$ ，求△ $A' BC$ 的面积．