已知2a＋1的平方根是±3，5a＋2b－2的算术平方根是4，-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $k$ 与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求 $k$ 所有可能的值．

某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．

（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；

（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：

①补全条形统计图．

②如果体育中考按自选项目占 $50 %$ 、长跑占 $30 %$ 、掷实心球占 $20 %$ 计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．

如图， $∠ BAC = 90 °$ ， $AD$ 是 $∠ BAC$ 内部一条射线，若 $AB = AC$ ， $BE ⊥ AD$ 于点 $E$ ， $CF ⊥ AD$ 于点 $F$ ．求证： $AF = BE$ ．

先化简，再求值： $(2 x + 1) (2 x - 1) - {(2 x - 3)}^{2}$ ，其中 $x = - 1$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 与两坐标轴分别相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点．

（1）求证： $∠ ACB = 90 °$ ；

（2）点 $D$ 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．

①求 $DE + BF$ 的最大值；

②点 $G$ 是 $AC$ 的中点，若以点 $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔAOG$ 相似，求点 $D$ 的坐标．