在△ABC中，ABAC，∠BAC120°，过点C作CD∥AB-优题课

如图， $AG$ 是 $∠ HAF$ 的平分线，点 $E$ 在 $AF$ 上，以 $AE$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AG$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $AH$ 的垂线，垂足为点 $C$ ，交 $AF$ 于点 $B$ ．

（1）求证：直线 $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 2 CD$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ，求 $BD$ 的长度．

某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；

（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点， $AD / / BC$ ， $AE / / DC$ ， $EF ⊥ CD$ 于点 $F$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是菱形；

（2）若 $AB = 6$ ， $BC = 10$ ，求 $EF$ 的长．

如图， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OP$ ，垂足为 $C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．连接 $PB$ ， $AO$ ，并延长 $AO$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，与 $PB$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OC = 3$ ， $AC = 4$ ，求 $\sin E$ 的值．

杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类： $A$ ：优秀； $B$ ：良好； $C$ ：一般； $D$ ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，杨老师一共调查了　　名学生，其中 $C$ 类女生有　　名， $D$ 类男生有　　名；

（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（3）在此次调查中，小平属于 $D$ 类．为了进步，她请杨老师从被调查的 $A$ 类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．