如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作-优题课

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图， $Rt △ ABC$ 中， $∠ BCA ＝ 90 °$ ， $AC ＝ 3$ ， $BC ＝ 4$ ，点O在线段 $BC$ 上，且 $OC = \frac{3}{2}$ ，以O为圆心． $OC$ 为半径的 $⊙ O$ 交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）研究过短中，小明同学发现 $\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AC}$ ，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．

（1）计算 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - 3 \tan 60 ° + |- \sqrt{3}| + {(2 \cos 60 ° - 2020)}^{0}$ ；

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} \frac{3 - x}{2} \leq 1 \\ 3 x + 2 \geq 4 \end{matrix}$ ．

如图，二次函数 $y ＝ \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 的图象过点 $A （ 4 ，﹣ 4 ）$ ， $B （﹣ 2 ， m ）$ ，交y轴于点 $C （ 0 ，﹣ 4 ）$ ．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接 $AB ， AD$ ，点E是线段AB上的一动点，过点E作 $EF ∥ BD$ 交AD于点F．

（1）求二次函数 $y ＝ \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 的表达式；

（2）判断 $△ AB D$ 的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线 $BD$ 上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时 $AG 与 BD$ 的数量关系，并求出点E的坐标；

（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得 $∠ EPF ＝ 90 °$ 的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 $△ HPQ$ 是以 $∠ PQH$ 为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $DE ⊥ AC$ 于点O，交BC于点E， $EG ＝ EC$ ， $GF ∥ AD$ 交DE于点F，连接 $FC$ ，点H为线段 $AO$ 上一点，连接 $HD ， HF$ ．

（1）判断四边形 $GECF$ 的形状，并说明理由；

（2）当 $∠ DHF ＝ ∠ HAD$ 时，求证： $AH • CH ＝ EC • AD$ ．

如图1，在 $△ ABC$ 中， $AB ＝ 6 cm$ ， $AC ＝ 5 cm$ ， $∠ CAB ＝ 60 °$ ，点D为AB的中点，线段 $AC$ 上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到 $DF$ ，过点F作 $FG ⊥ AB$ 于点G．设A、E两点间的距离为 $xcm$ ， $F ， G$ 两点间的距离为 $ycm ．$

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

x/cm	0	0.51	1.03	1.41	1.50	1.75	2.20	2.68	3.00	3.61	4.10	4.74	5.00
y/cm	0	0.94	1.91	2.49		2.84	3.00	2.84	2.60	2.00	1.50	0.90	0.68

请你通过计算补全表格；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图2），描出表中各组数值所对应的点 $（ x ， y ）$ ，并画出y关于x的图象；

（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？　　；

（4）解决问题：当 $AE + FG ＝ 2$ 时，FG的长度大约是　　cm（保留两位小数）．