如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O分别交于A、B-优题课

如图，已知直线 $AB$ 与抛物线 $C : y = a x^{2} + 2 x + c$ 相交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (2, 3)$ 两点．

（1）求抛物线 $C$ 函数表达式；

（2）若点 $M$ 是位于直线 $AB$ 上方抛物线上的一动点，以 $MA$ 、 $MB$ 为相邻的两边作平行四边形 $MANB$ ，当平行四边形 $MANB$ 的面积最大时，求此时平行四边形 $MANB$ 的面积 $S$ 及点 $M$ 的坐标；

（3）在抛物线 $C$ 的对称轴上是否存在定点 $F$ ，使抛物线 $C$ 上任意一点 $P$ 到点 $F$ 的距离等于到直线 $y = \frac{17}{4}$ 的距离？若存在，求出定点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）如图1， $E$ 是正方形 $ABCD$ 边 $AB$ 上的一点，连接 $BD$ 、 $DE$ ，将 $∠ BDE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ ，旋转后角的两边分别与射线 $BC$ 交于点 $F$ 和点 $G$ ．

①线段 $DB$ 和 $DG$ 的数量关系是　　；

②写出线段 $BE$ ， $BF$ 和 $DB$ 之间的数量关系．

（2）当四边形 $ABCD$ 为菱形， $∠ ADC = 60 °$ ，点 $E$ 是菱形 $ABCD$ 边 $AB$ 所在直线上的一点，连接 $BD$ 、 $DE$ ，将 $∠ BDE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $120 °$ ，旋转后角的两边分别与射线 $BC$ 交于点 $F$ 和点 $G$ ．

①如图2，点 $E$ 在线段 $AB$ 上时，请探究线段 $BE$ 、 $BF$ 和 $BD$ 之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$ 在线段 $AB$ 的延长线上时， $DE$ 交射线 $BC$ 于点 $M$ ，若 $BE = 1$ ， $AB = 2$ ，直接写出线段 $GM$ 的长度．

阅读下列材料：小明为了计算 $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2017} + 2^{2018}$ 的值，采用以下方法：

设 $S = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2017} + 2^{2018}$ ①

则 $2 S = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2018} + 2^{2019}$ ②

② $-$ ①得 $2 S - S = S = 2^{2019} - 1$

$∴ S = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2017} + 2^{2018} = 2^{2019} - 1$

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1） $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{9} =$ 　 $2^{10} - 1$ 　；

（2） $3 + 3^{2} + \dots + 3^{10} =$ 　　；

（3）求 $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n}$ 的和 $(a > 0$ ， $n$ 是正整数，请写出计算过程）．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于第一、象限内的 $A (3, 5)$ ， $B (a, - 3)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在 $y$ 轴上找一点 $P$ 使 $PB - PC$ 最大，求 $PB - PC$ 的最大值及点 $P$ 的坐标；

（3）直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围．

某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．

收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分） $:$

90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97

88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82

整理分析数据：

成绩 $x$ （单位：分）	频数（人数）
$60 ⩽ x < 70$	1
$70 ⩽ x < 80$	2
$80 ⩽ x < 90$	17
$90 ⩽ x < 100$

（1）请将图表中空缺的部分补充完整；

（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；

（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　．